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Autore: Daniele Missiroli
Titolo: Stenaritmia
Genere Matematica
Lettori 175
Stenaritmia

- Perché io devo imparare a fare i calcoli a mente se ho il computer, il cellulare, e tanti altri modi per farli? Quando mai mi capiterà di dover fare, per esempio, 17 per 18 o 35 al quadrato? -
Aprendo le prime pagine di questo libro, sono sicuro che hai avuto pensieri del genere. È una buona domanda, lo ammetto.
Ci sono molte risposte a questa domanda, ma io preferisco ri-spondere così: - Perché devo sollevare venti volte un manubrio di due chili? Quando mai mi capiterà di dover prendere a pugni un sacco pieno di sabbia? -
Eppure ci sono persone che pagano per sollevare quel manubrio e prendere a pugni quel sacco.
- Ah, ma quello è solo allenamento - dirai tu. - Devo tenermi in forma e quindi faccio degli esercizi fisici. -
Fai bene! E perché non usare lo stesso approccio anche per quanto riguarda il cervello? Molte ricerche hanno dimostrato che per essere mentalmente in forma occorre tenere il cervello allenato, e cruciverba, rebus, sudoku, scacchi o altri giochi per la mente man-tengono in movimento le sue cellule.
Tutte le attività che ho citato, però, sono indubbiamente utili per tenere in esercizio la materia grigia fino a tarda età, ma sono solo dei passatempi. Saper fare i calcoli a mente, invece, ti servirà sempre: sia nella vita quotidiana, sia in quella lavorativa.
- Sì, però io non so se ce la faccio... ho sempre odiato la mate-matica... non ci capisco niente... non ho memoria... bla, bla, bla... -
Adesso stai pensando questo, vero? È normale. Per tua fortuna posso dirti subito che non è vero che tu odi la matematica. La frase corretta è che tu odi - il modo - in cui ti è stata presentata. Mi spiego meglio. Ci sono tre qualità che un insegnante deve avere:
1. amare la propria materia;
2. amare l'insegnamento;
3. amare i propri studenti;
Se un docente le ha tutte e tre, è un ottimo insegnante.
Se ne ha solo due, è un bravo insegnante.
Se ne ha solo una, è ancora un insegnante decente.
Se non ne ha nessuna... può solo far danni!
Da come ti giudichi a proposito della matematica, ora sai che tipo di insegnamento hai avuto.
Per quanto riguarda le altre tue osservazioni, inoltre, sappi che per fare i calcoli a mente non occorrono doti speciali. Tutto quello che serve è - sapere - come fare. E questo sapere, purtroppo, non viene insegnato a scuola e non ci sono libri sull'argomento.
Anzi no, adesso ce n'è uno.
Si ritiene che la matematica sia stata inventata dai Babilonesi intorno al 1.800 a.C., anche se gli storici possono solo avanzare ipotesi riguardo ai metodi usati per ottenere i risultati delle operazioni, poiché gli antichi popoli non avevano certo i nostri sistemi e i nostri numeri, inventati dagli indiani dell'India, anche se oggi si chiamano - numeri arabi - .
Oggi, un bambino di seconda media ha conoscenze in tutti i settori matematici che superano cento volte quelle di un Babilonese di allora, ma se consideriamo solo le tecniche di calcolo, un antico scriba di Babilonia sarebbe in grado di superare la maggior parte degli adulti moderni (privati del cellulare e del computer, ovviamente). Come abbiamo fatto ad arrivare a questo?
Nella scuola primaria italiana viene insegnato il calcolo manuale per eseguire le quattro operazioni con i numeri naturali e i numeri razionali positivi.
Poi, in quella secondaria di primo grado, s'insegna a eseguire quelle stesse operazioni sulle frazioni e vengono introdotti i numeri negativi e i numeri reali.
Inoltre, si studiano le operazioni di elevamento a potenza, di e-strazione di radice quadrata, di massimo comun divisore e di minimo comune multiplo.
E si arriva a tredici anni senza gli strumenti per saper calcolare a mente 17 per 18 o 35 al quadrato. Perché?
Con questo non voglio dire che usare il computer per fare i cal-coli sia sbagliato. Così come non è sbagliato usare un sistema di scrittura al posto di carta e penna.
Ma come il sistema di scrittura non deve sostituire la capacità dell'individuo di pensare, sognare, immaginare, vivere delle storie nella propria testa, così il foglio elettronico e la calcolatrice non de-vono sostituire la capacità dell'individuo di fare calcoli a mente. So-prattutto tenendo conto che molte operazioni si fanno più in fretta in questo modo che non al computer.
Ebbene sì: come il treno è più veloce dell'aereo per tratte brevi, così ci sono diverse operazioni che sono talmente semplici che si impiega meno tempo a dare la risposta a mente di quanto ci metta una persona a digitare i numeri sulla calcolatrice. Per inciso: 35 al quadrato è una di quelle operazioni banali.
Sai quanto fa 3 per 4?
Bene: allora sai quanto fa 35 al quadrato.
Ma te lo dico dopo.

0 – Cosa devi sapere a memoria

Qualcosa a memoria si deve sapere. Alle elementari ti hanno insegnato a usare la tavola pitagorica, no?

Saperla a memoria, però, NON vuol dire avere un processo mentale del tipo: - 6 per 7? Mmm... quaranta... uh... sì, ci sono... ecco... quarantadue, credo. -
No, saperla e memoria significa: - 6 per 7? 42 - , - 5 per 9? 45 - , - 7 per 8? 56 - . Se il tuo processo mentale non è così immediato, basta ripassarla e lo diventerà. Per fare i calcoli a mente i numeri si devono - vedere - in testa, per cui NON rileggerla come una filastrocca. Guardala come ammireresti un dipinto. Nota i particolari e i numeri saranno - assorbiti - dai tuoi neuroni. Si devono scomporre e ricomporre da soli in modo naturale, perché l'intelligenza numerica è innata nella nostra specie e riguarda il dominio di quantità, che funziona con meccanismi visivi e spaziali. Ecco perché alcune didattiche non sono adatte ai processi di apprendimento. Si basano sui meccanismi fonologici, che sono meccanismi della cognizione verbale e non hanno nulla a che fare con i meccanismi della cognizione di quantità.
Il calcolo scritto è una procedura senza controllo cognitivo: so-no solo esercitazioni "diligenti". Scrivi questa frase su un foglio:

Alla fine di questo libro ti meraviglierai molto
di ciò che avrai imparato a fare.

Curiosità: come i numeri arabi non sono stati inventati dagli arabi, anche quella tabella non è di Pitagora. Fu l'errore di un copista che la disegnò al posto di un abaco a scacchiera, mentre sotto c'era scritto: - Tabula Pithagorica - . Va be'.

Iniziamo con la lista delle operazioni di cui ci occuperemo. Sono tutte cose che sai già, ma ne faccio ugualmente un elenco sintetico, comprensivo dei simboli che userò e di un esempio.

Per la moltiplicazione, invece del puntino - . - o della - x - , che fra l'altro mi serve per scopi diversi, preferisco usare l'asterisco - * - , un simbolo introdotto dal linguaggio Fortran negli anni '50.
Per la divisione, invece, meglio usare la barra dritta - / - e non i due punti - : - o il simbolo dell'òbelo - ÷ - .
Quando parlerò di - cifra - mi riferirò a uno dei dieci simboli, da 0 a 9, introdotti in Europa da Fibonacci nel 1202. Quando parlerò di - numero - , invece, mi riferirò a un numero intero da 1 in poi. Ti faccio qualche esempio:
• il numero - 4567 - è costituito da quattro cifre fisse;
• il numero - xyz - è costituito da tre cifre ignote;
• il numero - x5 - è costituito da due cifre, di cui la prima è ignota e la seconda è fissa e vale 5.

Ora ti rivelerò il primo segreto. Quando parlo di - segreti - , vo-glio solo dire che nella scuola italiana queste informazioni non ven-gono date. Tutto quello che ho scritto in questo libro, invece, po-trebbe essere imparato subito dopo le elementari.

Segreto: le dieci cifre non sono uguali per la mente.

Mi riferisco alla - semplicità - del trattamento. Sai già che se un numero finisce per zero, moltiplicarlo è più facile. Anche se finisce per cinque la moltiplicazione è abbastanza semplice. E se finisce per sette? Be', qui cominciano i problemi. E moltiplicare per due? Basta raddoppiarlo, no? E la moltiplicazione per quattro richiede di fare il doppio due volte. Già da queste considerazioni hai intuito che ci sono cifre più facili da trattare a mente rispetto ad altre. Mettiamole in ordine di semplicità.

Per le ultime cifre, il 3, il 6 e il 7, non ci sono molte scorciatoie. Nonostante questo, riuscirai a usarle per fare a mente dei calcoli che prima ti sembravano impossibili.
Be', io parlo sempre di fare dei - calcoli a mente - e non ti ho ancora detto come si tengono in memoria i numeri. È ovvio che non dobbiamo preoccuparci di ricordarli per sempre, come è necessario fare, per esempio, con i numeri di telefono importanti. Ci serve solo un sistema semplice per far rimanere in testa due numeri per qualche secondo: il tempo di portare a termine l'ope¬ra¬zione da eseguire. Sarà l'argomento del prossimo capitolo.

Curiosità: tutte le formule per fare i calcoli che indicherò sono sup-portate da dimostrazioni matematiche. In questo libro, però, quelle dimostrazioni NON saranno riportate, poiché l'obiettivo è solo quello di imparare a fare i calcoli a mente, non di conoscere il motivo per cui una certa - scorciatoia - è possibile. Chi fosse interessato alle dimostrazioni, tuttavia, le potrà ricavare da qualsiasi testo di algebra.

Il primo problema da affrontare nel tentare di migliorare la pro-pria capacità di calcolo mentale è questo:
"Conviene memorizzare i numeri fonologicamente, come si pronunciano, o c'è un metodo migliore?"
Prendiamo ad esempio 123. Questo numero si pronuncia:
centoventitrè
una parola di 13 lettere per un numero, tutto sommato, abbastanza piccolo.
Pensa se dovessimo tenere a mente 54.321:
cinquantaquattromilatrecentoventuno
Un numero di sole cinque cifre si trasforma in una parola di ben 35 lettere.
Hai già capito che il - nome letterale - dei numeri non è adatto per la nostra memoria. Una forma più compatta è quella che rappre-senta il numero in base alle sue semplici cifre, come se fosse una se-quenza di caratteri o un numero di telefono.
Tornando ai nostri esempi, quindi, 123 si deve ricordare men-talmente come "uno-due-tre" (9 lettere contro le 15 della versione letterale), e 54.321 diventa "cinque-quattro-tre-due-uno" (22 lettere contro le 35 della versione letterale). Non solo il totale delle lettere è diminuito del 40%, ma è anche più semplice ricordare il numero, poiché non ha più una dimensione. Diventa solo una sequenza di caratteri. Anche la risposta può essere data come sequenza di caratteri. Mentre pronuncerai i caratteri, scoprirai che ti verrà automatico inserire le parole - inutili - .

Segreto: le parole - cento - , - mila - , - milioni - servono solo per il risultato, ma vanno ignorate durante il calcolo.

I numeri sono caratteri come lo sono le lettere a, b, c, ma nel cervello sono gestiti diversamente. Devi solo ricordare la sequenza dei due numeri coinvolti nel calcolo e la sequenza del risultato finale. Mentre il cervello ordina poi alla tua bocca di pronunciare il risultato, spontaneamente aggiungerai le parole - inutili - che non hai usato. Facciamo qualche esempio con operazioni banali per abituare la mente a questo sistema. Uso il simbolo del meno - - - per indicare le pause e spiego in dettaglio i passaggi mentali.

2 – Accostare le cifre

Nel capitolo precedente abbiamo imparato a memorizzare i nu-meri senza le parti inutili, tenendo a mente solo le cifre, una di seguito all'altra. Se ci pensi bene, questo metodo può essere considerato un "accostamento" di caratteri. In molti calcoli, anzi direi in quasi tutti, il segreto sarà proprio un accostamento di risultati intermedi, per cui mi serve un simbolo per indicare questa operazione. Se indichiamo un generico numero con - xy - , in pratica è come se stessimo dicendo che il numero vale: x per 10 + y. Infatti, se x vale 3 e y vale 5, allora 35 si ottiene da 3 per 10 + 5.
Sarebbe bello poter usare il "+", ma questo simbolo serve per l'addizione, perciò non si può usare per l'accostamento delle cifre. Poiché accostare x a y significa fare "x per 10 + y", indicherò il gruppo "per 10 +" col nuovo simbolo - ► - .
Quindi, se leggerai 3+4 il risultato sarà 7, mentre se troverai 3►4, allora il risultato sarà 34. La stessa regola vale per i numeri con più di due cifre, ma qui si presenta un'ambiguità. Infatti a noi serve capire in modo chiaro e immediato come dobbiamo operare sulle cifre (ovvero di quanto sarà moltiplicato il termine a sinistra). Se il significato del nuovo simbolo è "per 10 +", allora 12 accostato a 25 (ovvero 12►25) non fa 1225, ma 145 (cioè 12 per 10 + 25).
Per risolvere il problema in modo semplice, diciamo che ogni simbolo implica un fattore moltiplicativo di 10. Nel caso precedente, quindi, se troverai scritto 12►25 il risultato sarà 145, mentre se troverai scritto 12►►25, allora il risultato sarà 1225.

3 – Calcoli facili

3.1 – Il quadrato dei numeri che finiscono per 5
Un generico numero che finisce per 5 può essere indicato come x5. Per esempio, se il nostro numero fosse 45, allora la x sarebbe 4. Se il numero fosse 85, allora la x sarebbe 8 e così via. La formula per calcolare a mente il quadrato dei numeri che finiscono per cinque è questa:

(x5)2 = x * (x+1) ►► 25

In italiano questa formula si legge così: - moltiplica le decine per il numero successivo e accosta 25 - .
Ecco perché ti avevo detto che per calcolare 352 basta sapere quanto fa 3*4. Il risultato, infatti, è 1225. Adesso guarda questi e-sempi dove applico la regola.

3.2 – Moltiplicare i numeri per 11
La tabellina dell'undici è così facile che in alcune scuole certe insegnanti volenterose la insegnano ai bambini. La formula per calcolare a mente un numero moltiplicato per 11 è questa:

x * 11 = x ► x

In italiano questa formula si legge così: - accosta il numero a sé stesso - . Se il numero x è costituito da una sola cifra, non ci sono problemi (certamente sapevi già che 4*11 fa 44 o che 7*11 fa 77 e così via). Ma se x è un numero di due cifre? In questo caso la formula diventa questa:

xy * 11 = x ► S ► y
dove S = x+y

In italiano questa formula si legge così: - inserisci fra la prima e l'ultima cifra la loro somma - .

3.3 – Moltiplicare numeri di due cifre che iniziano per 1
Hai imparato a usare il numero undici, estendendo in questo modo la tavola pitagorica di base. Continuiamo per questa strada vedendo come sia facile moltiplicare fra loro i numeri che iniziano per uno. All'inizio del libro avevo parlato della moltiplicazione di 17 per 18 e ora stiamo trattando proprio quel caso.
La formula per calcolare una moltiplicazione del genere è:

1x * 1y = 1 ► S ► P
dove S = x + y
e dove P = x * y

In italiano questa formula si legge così: - accosta alla cifra 1 la somma delle unità e poi il loro prodotto - . Facciamo subito degli e-sempi. Userò le parentesi tonde per indicare i riporti, poiché questa notazione deve diventarti familiare come l'altra.

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Daniele Missiroli
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